Question

高数 微积分II的内容 计算 二重积分 为什么交换积分次序后 下限为pi-arcsi

高数 微积分II的内容 计算 二重积分 为什么交换积分次序后 下限为pi-arcsiny 而不是arcsiny 如图

Answer 1

情况相反就用θ=常数去穿过D

一般来讲画图是比较简单直观的方法，但是不画图肯定是可行的，否则高维的积分就没法处理了
比如你的问题里积分区域是D={(r,θ): r>=0, r<=sinθ, rcosθ>=0, 0<=θ<2π}
那就直接对集合里的几个代数表达式化简（但是注意用等价变换）：
r>=0且rcosθ>=0等价于r>=0且cosθ>=0，再结合θ的范围可进一步等价为r>=0且0<=θ<=π/2，这样D={(r,θ): 0<=r<=sinθ, 0<=θ<=π/2}，就可以累次积分了
如果碰到复杂的情况就把D拆成多个不相交的集合的并集，逐个化简

追问

额，我是单纯的想知道那个下限为什么变成了pi-arcsiny，画图从左到右画条直线，先交的是下限，我觉得应该是arcsiny而不应该是Pi-arcsiny，但是题目答案是arcsiny，你说的转化为极坐标下的计算我知道，但是我想搞懂这个地方，希望大神解答！