Question

高数 定积分 图像判断

高数 定积分 图像判断题如图 答案中的第二第三条有点不理解 所以求个解答 我翻看以前笔记里面基本在这类题中都有发现自己写的过原点 这个条件 所以 变限积分一定连续 且过原点吗 谢谢
发现没上图 第二条是说 fx有两个第一类间断点 所以FX有两个不可导点 排除A
第三条是说F0 = 定积分上下限 0 ftdt =0 所以Fx、图像过原点 排除C

Answer 1

变限积分过不过原点 取决于积分下限是不是0
积分下限要是0 就过原点(0,0)，积分下限是a的话，过(a,0)

追问

您好 我在问题补充里又补充了问题描述 您有空的话能用网页版看一下吗

还有谢谢您的回答 解开了我的一个疑惑

追答

fx在x=0 和x = 2 处分别有2个跳跃间断点，所以原函数有两个不可倒点
在导数的描述中“fx在x=x0处导数存在”和“fx在x=x0处可导”是等价描述
同样“fx在x=x0处不可导”和“fx在x=0处导数不存在”是等价描述
函数在x0处导数存在的 充分必要条件是x0点的左导数和右导数存在且相等
根据题目中给的图可以直接看出
Fx 在x = 0 处的左导数为1，右导数为-1 存在但不相等，故Fx 在x=0处不可导
同理，在x=2处的左导数为2，右导数为0，存在但不相等，故在Fx在x=2处也不可导
A选项从图上看，只有在x=2处存在一个尖点，它在x=0处是平滑的，故A选项只有一个不可导点
根据我解释过的积分下限为0，原函数过原点，可以排除C
定积分的几何意义是函数与坐标轴围成的面积，
分析导函数，在x增加的过程中，当x>=2时，函数与坐标轴围城的面积就不变了，而不是变成0了，所以排除B
故选D
当然，你答案如果写的不是“跳跃间断点”而是“第一类间断点”，也是正确的，第一类间断点还包括可去间断点，但是存在可去间断点和跳跃间断点，原函数不可导的理由是不同的，如果存在跳跃间断点，原函数出现尖点，所以不可导。
而如果出现可去间断点，函数是可积的，但是原函数的导函数值不等于fx在x=x0的值，简单解释一下，就是定积分表示面积，而改变一个点（可去间断点）的位置，是不会影响整体的面积的，可去间断点可以存在于x=x0这一直线上任意位置，都不会改变原函数，但是原函数在某一点求导只有唯一的值，所以可取间断点的Fx并不是不可导，而是导函数不等于fx，解释你不理解也没问题，记住就行，考研才需要理解。
定理准确的描述是“如果函数存在第一类间断点，则不存在与之对应的原函数”但“如果函数存在有限个第一类间断点且函数有界，则函数可积”，搞清楚存在原函数和可积的区别

追问

啊 明白了 非常详细 感谢您的解答