求微分方程y'=1/2+2y/x 满足初始条件y(1)=1的解
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求微分方程y'=1/2+2y/x 满足初始条件y(1)=1的特解
解：y'-(2y/x)=1/2；先求y'-2y/x=0的通解：
分离变量得dy/y=(2/x)dx；积分之得lny=2lnx+lnc₁=ln(c₁x²)
故得y=c₁x²；将c₁换成x的函数u，得y=ux²...........①
对①取导数得：y'=u'x²+2ux.........②
将①②代入原式得：u'x²=1/2；分离变量得du=(1/2x²)dx；
积分之得u=∫(1/2x²)dx=(1/2)∫(1/x²)dx=-(1/2)(1/x)+c=-1/(2x)+c...........③
将③代入①式即得原方程的通解为：y=[-1/(2x)+c]x²=cx²-(1/2)x
代入初始条件y(1)=1,得c=3/2；故特解为：y=(1/2)(3x²-x)
解：y'-(2y/x)=1/2；先求y'-2y/x=0的通解：
分离变量得dy/y=(2/x)dx；积分之得lny=2lnx+lnc₁=ln(c₁x²)
故得y=c₁x²；将c₁换成x的函数u，得y=ux²...........①
对①取导数得：y'=u'x²+2ux.........②
将①②代入原式得：u'x²=1/2；分离变量得du=(1/2x²)dx；
积分之得u=∫(1/2x²)dx=(1/2)∫(1/x²)dx=-(1/2)(1/x)+c=-1/(2x)+c...........③
将③代入①式即得原方程的通解为：y=[-1/(2x)+c]x²=cx²-(1/2)x
代入初始条件y(1)=1,得c=3/2；故特解为：y=(1/2)(3x²-x)
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