Question

计算曲面积分∫∫x^2y^2zdxdy,其中∑是球面x^2+y^2+z^2=R^2的一部分外侧，∑为x,z≥0.

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

Z=±√aa-xx-yy
Z'x=±（-x/√aa-xx-yy）
Z'y=±（-y/√aa-xx-yy）
dS=√1+(Z'x)^2+(Z'y)^2dxdy
=adxdy√aa-xx-yyyy
∑xoy面投影区域Dxx+yy《aa
原式=∫∫〔∑半球面〕…+∫∫〔∑半球面〕…
化D二重积并用极坐标计算
=2a∫〔02π〕dt∫〔0a〕【rrr/√aa-rr】dr
=2aπ∫〔0a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ∫〔0a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】
=8aaaaπ/3

追问

是用第二类曲面积分做……

Answer 3

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