Question

e^(1/(1-z))在1处的留数是多少？

Answer 1

解：

f（z）＝［e＾（1／z）］／（1－z）在z＝0点是其本性奇点。

f（z）＝（1＋z＋z＾2＋z＾3＋…＋z＾n＋…）

［（1＋1／z＋（1／2）／z＾2＋…＋（1／n！）／z＾n＋…］

＝［（1＋1／z＋（1／2）／z＾2＋…＋（1／n！）／z＾n＋…］＋［（z＋1＋（1／2）／z＋…＋（1／n！）／z＾（n－1）＋…］＋…＋［（z＾（n－1）＋z＾（n－2）＋…＋（1／n！）／z

＋…］＋…＝…＋（1＋1／2＋…＋1／n！＋…）／z＋（1＋1＋1／2＋…＋1／n！＋…）＋（1＋1＋1／2＋…＋1／n！＋…）z＋…，故Res［f（z），0］＝1＋1／2＋…＋1／n！＋…＝e－1。

扩展资料

解题方法：

首先找出f（z）的奇点,为z=±1且都是一介极点

那么无穷远点的留数就等于这两点的留数和的相反数。

z=-1点的留数

根据定理得到{(e^z)/(z-1)｜[z=-1]}=(-1/2)e^(-1)z=1点的留数为（1/2）

e那么无穷远点的留数为-[(-1/2)e^(-1)+（1/2）e]=-sh1至于你说的那个规则4,我就不清楚了。

一般来说,计算留数时不是去把函数展成洛朗级数,然后找相关的系数,而是根据求留数的相关定理去求展成洛朗级数去求留数这个只是理论上的推导,实际上我们很少用到

Answer 2

解：f(z)=[e^(1/z)]/(1-z)在z=0点是其本性奇点。∵f(z)=(1+z+z^2+z^3+…+z^n+…)[(1+1/z+(1/2)/z^2+…+(1/n!)/z^n+…]=[(1+1/z+(1/2)/z^2+…+(1/n!)/z^n+…]+[(z+1+(1/2)/z+…+(1/n!)/z^(n-1)+…]+…+[(z^(n-1)+z^(n-2)+…+(1/n!)/z+…]+…=…+(1+1/2+…+1/n!+…)/z+(1+1+1/2+…+1/n!+…)+(1+1+1/2+…+1/n!+…)z+…，故Res[f(z),0]=1+1/2+…+1/n!+…=e-1。供参考。