假设有2组基分别为A,B。由基A到基B可以表示为B=AP，过渡矩阵P=A^-1B。
过渡矩阵的应用：若X是在A基下的坐标，而Y是在B基下的坐标，则X，Y满足X=PY；过渡矩阵P为可逆矩阵。
证明如下：
过渡矩阵是线性空间一个基到另一个基的转换矩阵，
即有(a1,...,an) = (b1,...,bn)P
因为 b1,...,bn 线性无关,
所以 r(P) = r(a1,...,an) = n 【满秩即可逆】
故 P 是可逆矩阵。
扩展资料：
矩阵可逆的充分必要条件：
1、AB=E；
2、A为满秩矩阵（即r(A)=n）；
3、A的特征值全不为0；
4、A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；
5、A等价于n阶单位矩阵；
6、A可表示成初等矩阵的乘积；
7、齐次线性方程组AX=0 仅有零解；
8、非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；
9、A的行（列）向量组线性无关；
10、任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。
其实以上条件全部是等价的。
东莞大凡
2024-11-14 广告
线性空间中从一个基(α1，α2)变换到另一个基(β1，β2)，是通过原基(α1，α2)乘以一个矩阵P来实现的，这个矩阵P就称为过渡矩阵，即(β1，β2)=(α1，α2)P；反变换就写成 (α1，α2)=（β1，β2)（P逆）。 若令（P逆）=Q， 上述变换过程也可以写为 (α1，α2)=（β1，β2)Q； 反变换(β1，β2)=(α1，α2)（Q逆），总之过渡矩阵必须右乘原基。有网友询问：为什么坐标变换要左乘过渡矩阵；基变换必须右乘过渡矩阵？问题很有意思，需要思考两个基之间的过渡矩阵怎么推导出来的。最后: 【(α1，α2)逆】(β1，β2)=P，即网友提问过渡矩阵的答案。再看一个数值例子。
过渡矩阵是刻画两个基之间的关系，一般可以根据β=αP，来求过渡矩阵P
其中β，α分别是基2，基1构成的矩阵
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