Question

一道高数题，求幂级数的和函数

Answer 1

解：(1)，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。

又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R<1，级数收敛。∴其收敛区间为，丨x丨<1。

而，当x=±1时，级数∑1/(2n+1)、-∑1/(2n+1)均发散。∴其收敛域为丨x丨<1。
(2)，设S(x)=∑x^(2n+1)/(2n+1)。在其收敛区间上、有S(x)对x求导，有S'(x)=∑x^(2n)=x²/(1-x²)。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)[1/(1-x²)-1]dx=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]-x。
供参考。

追问

请问(2)中S'(x)=∑x^(2n)=x²/(1-x²)。这个怎么来的呀，就是有的幂级数和是1/1-x，上面为什么没有x

Answer 2

consider
1/(1-x) = 1+x+x^2+....
1/(1-x^2) = 1+x^2+x^4+....
∫(0->x) dt/(1-t^2) = ∫(0->x) ( t+t^2+t^4+...)dt
(1/2)ln|(1-x)/(1+x)| = x + (1/3)x^3+(1/5)x^5+...
∑(n:1->∞) x^(2n+1)/(2n+1)
=(1/2)ln|(1-x)/(1+x)|
收敛半径=1
收敛区域 ：-1<x<1