Question

这道题为啥不能先无穷小代换再洛必达

这道题为啥不能先无穷小代换再洛必达这道题为啥不能先无穷小代换再洛必达，再说这也不是加减啊，为什么不能先无穷小代换呢

Answer 1

【如果一开始分子就用等价无穷小作替换，分子就变成常量零了，后面的运算就没法进行了，这是不可以的。分母可以作替换。】

追问

您好，感谢您的回答，但是我还是没搞明白为啥分子为零就不能用了，哪有问题了

追答

洛必达法则适用于0/0或∞/∞；这时lim[f(x)/g(x)]=lim[f'(x)/g'(x)]；
意思是说两个无穷小(大)量之比的极限，可以用它们的导数之比的
极限来求，因为导数是函数的瞬时变化率，两函数的导数之比就是
比较它们趋于零或趋于无穷大的速度。
当分子是常量零时，已经不存在趋于零的速度了，因此不能再用洛
必达法则了，因为已经不存在趋于零的速度问题了。就好像两人赛
跑，甲已经在终点了，与乙跑向终点的速度没有比较的价值了。

追问

哦，谢谢你啊，懂了

这里的为什么不能一上来就无穷小的代换？请问

也是一样的道理是吗

追答

可以替换。

追问

哦，谢谢

Answer 2

其实是违背了同一极限号后面同一变量的趋向具有同时性，不能人为的制造先后顺序。

追问

什么意思，能通俗些吗，我只是个初学者😅

我想分子分母同时无穷小代换再洛必达，为啥不行

Answer 3

请把"商的极限等於极限的商"这句话的前提条件告诉我.

追问

不是无穷小的代换吗，和这个？。。。有关系？

我看了答案分母可以无穷小代换，分子为啥不行，我想先全部无穷小代换了，再用洛必达

追答

所以你们记结论,永远都只是记结论,不会去记前提条件或者说是怎麼来的.
等价无穷小替换是这样说的,如果a~a',b~b',且lima'/b'存在.那麼lima/b=lima'/b'

如果你使用等价无穷小的替换,你要把ln(sinx/x)给替换掉对吧?而我们学过的有关ln的等价无穷小只有一个,就是ln(1+x)~x.所以你要换,也只能是先凑出ln(1+x)的结构,把sinx/x写成1+(sinx-x)/x,然後分子替换成(sinx-x)/x.再用一次等价替换,sinx-x~-x³/6,而分母此时等於2x³,所以答案是-1/12,不是你采纳的-1/8
如果你要对ln里面的部分进行替换,你的根据是什麼?并不是等价无穷小,而是利用商的极限等於极限的商了.为什麼这样说?首先你的回答中,0来自於ln1.而ln1怎麼来的,是来自於lim(x→0)ln(sinx/x)=ln[lim(x→0)sinx/x]=ln1.你发现问题所在了没有?人家叫你求的是分式的极限,你现在给我求分子的极限是要干嘛?所以我问你商的极限等於极限的商,前提条件是什麼?

Answer 4

分母不能为0

追问

我画横线的这个，分母也是零就可以代换啊

追答

这个下面的分母已经转到上面，成分子了哦

追问

它一直是无穷小代换成2方了啊

x

我看了答案分母可以无穷小代换，分子为啥不行，我想先全部无穷小代换了，再用洛必达