Question

已知函数f(x)=lnx+a/x-ax2 问(1 ) 单f(x)为单调函数，a范围。

问(2)讨论f(x)的零点个数。

Answer 1

• f(x)=lnx+a/x-ax² 定义域x>0

1. f'(x)=1/x-a/x²-2ax=(-2ax³+x-a)/x²

   令分子=g(x)=-2ax³+x-a
   

   g'(x)=-6ax²+1

   当a≤0时 g'(x)>0→g(x)单调递增→g(x)>g(0)=-a≥0

   g(x)/x²=f'(x)≥0→f(x)为单调函数。

   a>0时 驻点：x=1/√(6a) 左+右- 为极大值点

   当极大值=⅔/√(6a)-a≤0时 →a≥⅓∛2时，g(x)≤极大值=0

   g(x)/x²=f'(x)≤0→f(x)为单调函数。
   

   a∈(-∞,0]∪[⅓∛2,+∞)
   

2. 由1.a∈(-∞,0]∪[⅓∛2,+∞)时 为单调函数，有且有一个零点x=1

   a∈(0,⅓∛2)时， 

   ①a∈(0,⅓) f'(1)=(1-3a)>0 x=1位于单增区间，一定∃x₁∈(0,1) f(x₁)<f(1)=0

   lim(x→0)f(x)=+∞→x∈(0,1)中存在一个零点；

   同理一定∃x₂∈(1,+∞) f(x₂)>f(1)=0

   lim(x→+∞)f(x)=-∞→x∈(1,+∞)中存在一个零点

   f(x)有三个零点

   ②a=⅓时：x=1为极大值点→f(x)有两个零点

   ③a∈(⅓,⅓∛2)时，f'(1)=f'(1)=(1-3a)<0 x=1位于单减区间→极大值>f(1)>0,aₒ≈0.39615极小值=0，→f(x)有两个零点

   a∈(⅓,aₒ)时，f(x)有三个零点，a∈(aₒ,⅓∛2)时,f(x)只有一个零点