高数二重积分 200
高数二重积分不知道为什么那个图那么糊，二次积分上下限分别是x和x²。想问，转换成极坐标形式以后，r的范围和θ的范围是什么？请给详细解答过程。...
高数二重积分不知道为什么那个图那么糊，二次积分上下限分别是x和x²。想问，转换成极坐标形式以后，r的范围和θ的范围是什么？请给详细解答过程。
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2024-12-15 广告
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六、I=∫<0,1>dxln[y+√(x^2+y^2)]|<x^2,x>
=∫<0,1>{ln[(1+√2)x]-ln[x^2+x√(1+x^2)]}dx
=∫<0,1>{ln(1+√2)-ln[x+√(1+x^2)]}dx
=ln(1+√2)-xln{x+√(1+x^2)]|<0,1>+∫<0,1>xdx/√(1+x^2)(分部积分)
=ln(1+√2)-ln(1+√2)+√(1+x^2)|<0,1>
=√2-1.
用极坐标变换，0<θ<π/4，0<r<sinθ/(cosθ)^2.
I=∫<0,π/4>sinθdθ/(cosθ)^2=[1/cosθ)]|<0,π/4>=√2-1.
=∫<0,1>{ln[(1+√2)x]-ln[x^2+x√(1+x^2)]}dx
=∫<0,1>{ln(1+√2)-ln[x+√(1+x^2)]}dx
=ln(1+√2)-xln{x+√(1+x^2)]|<0,1>+∫<0,1>xdx/√(1+x^2)(分部积分)
=ln(1+√2)-ln(1+√2)+√(1+x^2)|<0,1>
=√2-1.
用极坐标变换，0<θ<π/4，0<r<sinθ/(cosθ)^2.
I=∫<0,π/4>sinθdθ/(cosθ)^2=[1/cosθ)]|<0,π/4>=√2-1.
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追问
请问那条直线对二次积分中θ的范围有影响吗？
追答
有，θ=π/4.
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