Question

数学题解方程

Answer 1

解答：由已知得：
f '(x)=x^2+ax+a
因为 A，B是函数f(x)的两给不同的极值点
所以 x^2+ax+a=0有两个不同根即x1,x2且x1+x2= -a, x1x2=a
即 a^2 -4a >0
得 a<0 或 a>4
又AB斜率为 [f(x1) -f(x2)] / (x1 -x2)
[ 1/3(x1^3 -x2^3)+1/2a(x1^2 -x2^2)+a(x1 -x2) ]/ (x1 -x2)
=1/3 [(x1+x2)^2 -x1x2]+1/2a(x1+x2)+a
=1/3[( -a)^2 -a]+1/2a( -a)+
= (-1/6)a^2+(2/3)a
因为直线AB的斜率不小于-2
所以 (-1/6)a^2+(2/3)a >= -2
解得 -2 <= a <= 6
综上所诉 -2<=a<0 或 4<a<=6
f(x)的一阶导数f'(x)=-2*(2x^2 - tx -2)/(x^2 + 1)^2
f'(x)的分母恒大于0，分子为正的部分正好是【α、β】。
所以f'(x)在区间【α、β】上恒大于0
所以f(x)在区间【α、β】上单调递增
所以A=f(β)=(4β-t)/(β^2 +1)，B=f(α)=(4α-t)/(α^2 +1)
g(t)=A-B=[4αβ(α-β)-4(α-β)-t(α-β)(α+β)]/(α^2β^2+α^2+β^2+1)
因为α、β是方程的两个根，所以α+β=t/2，α*β=-1
α-β=-sqrt(α^2 + β^2 -2αβ)=-sqrt[(α+β)^2-4αβ]=-[sqrt(t^2+16)]/2
带入g(t)=sqrt(t^2 +16)
又因为方程有两个实根，所以delt=t^2 +16 恒大于0
所以g(t)最小值为t=0时g(0)=4