高等数学证明题
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因为f(x)+f(-x)是偶函数，所以∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx=(1/2)*∫(-a,a)[f(x)+f(-x)]dx
=(1/2)*∫(-a,a)f(x)dx+(1/2)*∫(-a,a)f(-x)dx
对后一项，令t=-x，则dx=-dt
=(1/2)*∫(-a,a)f(x)dx+(1/2)*∫(a,-a)f(t)*(-dt)
=(1/2)*∫(-a,a)f(x)dx+(1/2)*∫(-a,a)f(t)dt
=∫(-a,a)f(x)dx
∫(-π/4,π/4) cosx/[1+e^(-x)]
=∫(0,π/4) {cosx/[1+e^(-x)]+cos(-x)/(1+e^x)}dx
=∫(0,π/4) cosx*[e^x/(1+e^x)+1/(1+e^x)]dx
=∫(0,π/4) cosxdx
=sinx|(0,π/4)
=√2/2
=(1/2)*∫(-a,a)f(x)dx+(1/2)*∫(-a,a)f(-x)dx
对后一项，令t=-x，则dx=-dt
=(1/2)*∫(-a,a)f(x)dx+(1/2)*∫(a,-a)f(t)*(-dt)
=(1/2)*∫(-a,a)f(x)dx+(1/2)*∫(-a,a)f(t)dt
=∫(-a,a)f(x)dx
∫(-π/4,π/4) cosx/[1+e^(-x)]
=∫(0,π/4) {cosx/[1+e^(-x)]+cos(-x)/(1+e^x)}dx
=∫(0,π/4) cosx*[e^x/(1+e^x)+1/(1+e^x)]dx
=∫(0,π/4) cosxdx
=sinx|(0,π/4)
=√2/2
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