Question

计算二重积分。。这道题积分区域为什么关于y轴对称

积分区域不是一个半圆嘛？(阴影部分为我写的积分区域)

Answer 1

本题中，关于y=1对称，实际上就相当于y=0对称，也就是关于x轴对称，而不是y轴。

注意定积分的性质：如果积分区域关于x=0对称，且被积函数关于x为奇函数，那么积分等于0。对y同理。回到你的题目：f(x)=y*x是关于x的奇函数，积分区域D关于y轴即x=0对称，所以积分等于0。至于这个性质的证明，分区间使用换元法即可。

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

你画的积分区域没错，但是并不是关于y轴对称，而是关于y=1对称，在极坐标中，实际上就是关于θ=0对称，而xy这一部分化为极坐标后为 rcosθ*rsinθ，是关于θ的奇函数，积分后为偶函数，在对称区间的积分为0，所以这一部分积分为0.

换句话说，本题中，关于y=1对称，实际上就相当于y=0对称，也就是关于x轴对称，而不是y轴！

Answer 3

注意定积分的性质：如果积分区域关于x=0对称，且被积函数关于x为奇函数，那么积分等于0。对y同理。回到你的题目：f(x)=y*x是关于x的奇函数，积分区域D关于y轴即x=0对称，所以积分等于0。至于这个性质的证明，分区间使用换元法即可。

追问

积分区域。。。不是右边的那部分半圆嘛？没有左边那半圆。