Question

求微分方程y’’-y’=e^x+1的通解

Answer 1

求微分方程y''-y'=(e^x)+1的通解
解：齐次方程y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根r₁=0，r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=C₁+C₂e^x;
设其特解为：y*=axe^x+cx；则y*'=ae^x+axe^x+c=(ax+a)e^x+c
y''=ae^x+(ax+a)e^x=(ax+2a)e^x
代入原方程得：(ax+2a)e^x-(ax+a)e^x-c=ae^x-c=(e^x)+1
故a=1，c=-1；∴y*=xe^x-x;
∴原方程的通解为：y=C₁+C₂e^x+xe^x-x;

Answer 2

解：∵y'=1/(e^y+x)
∴dx/dy=e^y+x........(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴根据一阶线性微分方程通解公式，或常数变易法
可求得方程(1)的通解是x=(y+C)e^y
(C是任意常数)
故原方程的通解是x=(y+C)e^y
(C是任意常数)。

Answer 3