Question

7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（写出解答过程及结果）（1）甲排头；（2）甲不排头

Answer 1

（1）甲固定不动，其余有
A
6
6
=720，即共有
A
6
6
=720种；
（2）甲有中间5个位置供选择，有
A
1
5
=5，其余有
A
6
6
=720，即共有
A
1
5
A
6
6
=3600种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有
A
3
3
，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排列，即
A
5
5
，则共有
A
5
5
A
3
3
=720种；
（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有
A
2
5
，甲、乙可以交换有
A
2
2
，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，则共有
A
2
5
A
2
2
A
4
4
=960种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有
A
4
4
，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有
A
3
5
，则共有
A
4
4
A
3
5
=1440种；
（6）不考虑限制条件有
A
7
7
，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，即
1
2
A
7
7
=2520种；
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有

Answer 2

7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
(1)甲排中间；
(2)甲不排在两端；
(3)甲、乙相邻；
(4)甲在乙的左边(不一定相邻)；
(5)甲、乙、丙两两不相邻．
解：(1)甲排中间，其余6人任意排列，故共有＝720种不同排法．
(2)若甲排在左端或右端，各有种排法，故甲不排在两端共有＝3600种不同排法．
(3)法一：先由甲与除乙以外的5人(共6人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有·＝1440种不同排法．
法二：先将甲、乙合成为一个“元素”，连同其余5人共6个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有·＝1440种不同排法．
(4)在7人排成一行形成的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有＝2520种不同解法．
(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，每“空”1人，故共有＝1440种不同的排法．
评述
这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等．