Question

求y’’+2y’+y=xe^-x的通解

Answer 1

解：∵齐次方程y''-y'+2y=0的特征方程是r^2-r+2=0，则r=(1±√7i)/2
(二复根)
∴此齐次方程的通解是y=[C1cos(√7x/2)+C2sin(√7x/2)]e^(x/2)
(C1,C2是任意常数)
∵设原方程的解为y=(Ax+B)e^x
则代入原方程，化简得
[2Ax+(A+2B)]e^x=xe^x
==>2A=1，A+2B=0
==>A=1/2，B=-1/4
∴y=(x/2-1/4)e^x是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=[C1cos(√7x/2)+C2sin(√7x/2)]e^(x/2)+(x/2-1/4)e^x。

Answer 2

特征方程 r^2+2r+1 = 0, r = -1, -1
故设特解 y = x^2(ax+b)e^(-x) = (ax^3+bx^2)e^(-x)
y' = (3ax^2+2bx-ax^3-bx^2)e^(-x) = [-ax^3+(3a-b)x^2+2bx]e^(-x),
y'' = [-3ax^2+2(3a-b)x+2b + ax^3-(3a-b)x^2-2bx]e^(-x)
= [ax^3-(6a-b)x^2+2(3a-2b)x+2b]e^(-x)
代入微分方程得 b = 0， a = 1/6， 特解 y = (1/6)x^3e^(-x)
通解 y = (C1+C2x)e^(-x) + (1/6)x^3e^(-x)