Question

如图，两条求极限的问题。求大佬写出详细过程？

Answer 1

(3)x-->0+时x^2lnx=lnx/(1/x^2)-->(1/x)/(-2/x^3)=-x^2/2-->0,
所以-1/x^2-2020lnx=(-1-2020x^2lnx)/x^2-->-∞
所以原式-->e^(-1/x^2-2020lnx)-->0.
(5)x-->∞,xln[(x+1)/(x-1)]等价于x{[2/(x-1)-[2/(x-1)]^2/2+[2/(x-1)]^3/3}
等价于2-2/x+(8/3)/x^2,
所以原式-->x^2[-2/x+(8/3)/x^2]=-2x+8/3-->∞.

Answer 2

解：(3)考察：lim(x→0) lne^(-1/x^2)/ln(x^2020)=lim(x→0) (-1/x^2)/(2020lnx)
=lim(x→0) (2/x^3)/(2020/x)=lim(x→0)1/(1010x^2)=+∞=-∞高阶/-∞；说明分子→0的速度更快，所以，原式=0。
（5）原式=lim(x→0)x^2{ln{1+1/[(x-1)/2]}^x+2}
=lim(x→0)x^2{ln{1+1/[(x-1)/2]}^[(x-1)/2]*2}+ln{1+1/[(x-1)/2]}+2}
=lim(x→0)x^2{lne^2+0+2}=lim(x→0)4x^2=0。