Question

Monte Carlo方法基础

Answer 1

2.4.1.1 Monte Carlo 方法基本思想

Monte Carlo方法的定名和系统发展约始于20世纪40年代中，但从方法的特征角度来看可以一直追溯到19世纪后半叶的Buffon随机投针试验，即著名的Buffon问题。Buffon是法国著名学者，最早提供了用随机试验求π值的范例（图2.7）。

图2.7 Buffon投针试验

在平面上画间距为2a的平行线束，在平面上随机投长为2l的针，为了避免针与平行线同时相交的复杂情况，假定l＜a。设M为针的中点，y为针与最近平行线的距离，θ为平行线与针的交角，0≤y≤a，0≤θ≤π，则针与平行线相交的充要条件是：

y≤lsinθ

故相交的概率为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

用N表示投针次数，v表示针与平行线相交次数，由贝努里定律知，当N足够大时，频率接近于概率，即：

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因此：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

上式即为用随机试验求π值的公式。

根据公式（2.2），在19～20世纪，不少学者做了随机投针试验，并估算了π值，有代表性的如表2.5所示。

表2.5 π值估算

上面例子为Monte Carlo方法的雏形，包括以概率统计理论为主要理论基础、以随机抽样为手段两个核心问题。

Monte Carlo方法也称为随机模拟方法（Random simulation），有时也称为随机抽样方法（Random sampling），其基本思想为首先建立一个随机过程或概率模型，使它的参数等于问题的解，然后通过模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求参数的近似值。

假如所要求的量x是随机变量ζ的数学期望E（ζ），那么近似确定x的方法是对ζ进行N次重复抽样试验，产生相互独立的ζ值的序列ζ₁，ζ₂，ζ₃，…，ζ_n，并计算算术平均值：

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根据阿尔莫哥罗夫加强大数定律，有：

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因此，当N充分大时，下式：

ζ_N≈E（ζ）=x

成立的概率等于1，也即可用ζ_N作为所求量x的近似值。

举个简单例子，如要计算定积分：

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可按下述步骤近似计算：

（1）产生均匀分布在［0，1］上的随机数r_n（n=1，2，3，…，N）；

（2）计算g（r_n）（n=1，2，3，…，N）；

（3）用平均值作为I的近似值：

。

2.4.1.2 随机数与伪随机数

用Monte Carlo方法模拟，需要产生各种概率分布的随机变量，最简单、最重要、最基本的随机变量是在［0，1］上均匀分布的随机变量。

设r为［0，1］上均匀分布的随机变量，则其密度函数为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

随机变量r的累计分布函数为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

则随机变量r的数学期望为：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

为了方便，通常将在［0，1］上均匀分布的随机变量称为随机数。其他分布的随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。

在计算机上用数学方法产生随机数是目前广泛使用的方法，然而这种随机数是根据确定递推公式求得的，存在周期现象，初值确定后，所有的随机数便被唯一确定了，不能满足真正随机数的要求，因此将数学方法产生的随机数称为伪随机数。在实际应用中，只要这些伪随机数通过一系列的统计检验，还是可以把它当作真正随机数来使用的。

用数学方法产生的伪随机数具有许多优点，如适合用计算机进行迭代计算，只要在计算机中存储一个或几个初始值便可，而且速度快，费用低廉。在产生过程中，存在周期现象，因此周期的长短至关重要。在迭代过程中，应注意下列几点：

（1）随机性要好；

（2）在计算机上容易实现；

（3）省时；

（4）伪随机数的周期要长。