Question

lim（x负向趋近于1）lnxln(1-x)可以直接化简为ln(x+1-x)做吗？

我理解用洛必达的做法。但是为什么不可以用对数运算法则直接化成ln（x+1-x），极限直接为0

Answer 1

解法1，利用洛比塔法则。
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4
=lim（x趋近于0）[ln(1-x)/(1+x)-ln(1+x)/(1-x)+2x/(1-x^2)]/4x^3（分子分母分别求导）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3(1-x^2)（化简）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3（利用极限的乘积公式，再步化简）
=lim（x趋近于0）[-ln(1-x)-ln(1+x)]/12x^2（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）[1/(1-x)-1/(1+x)]/24x（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）(2x)]/24x(1-x^2)（化简）
=1/12
解法2.利用对数函数的泰勒公式。因为
ln(1-x)=-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)
ln(1-x^2)=-x^2-(x^4)/2+o(x^4)
于是
ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2)
=[x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)]*[-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)]-[-x^2-(x^4)/2+o(x^4)]
=-x^2-(5x^4)/12+o(x^4)+[x^2+(x^4)/2+o(x^4)]
=[(1/2)-(5/12)]x^4+o(x^4)=(1/12)x^4+o(x^4)
所以
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=1/12

追问

为什么不可以直接化简为ln（x+1-x）呢？