Question

第22题求解

Answer 1

y＇=1/2ⅹ^2+C1-cosⅹ+C2=1/2ⅹ^2-cosⅹ+C3

Answer 2

①y＇=1/2ⅹ^2+C1-cosⅹ+C2=1/2ⅹ^2-cosⅹ+C3
y=1/2*1/3ⅹ^3-sⅰnⅹ+C3ⅹ+C4(C1，2，3，4为常数)

追答

设y'=p →y''=pdp/dy,代入方程,得
yp(dP/dy)-p^2+p=0
若p不=0,则化简得
y(dp/dy)-p+1=0
→dp/(p-1)=dy/y(p不=1,y不=0)
→C1(p-1)=y
→C1(y'-1)=y
→C1dy/(y+C1)=dx
→C1ln(y+C1)=x+lnC2
→y=e^[x/C1+(lnC2)/C1]-C1
→y=C3*e^(x/C1)-C1。

如果p=0,即y'=0 →y=C是原方程的解。
如果P=1即y'=1,y=x+C也是原方程的解。
故原方程的解为:
y=C3*e^(x/C1)-C1;
y=C;