Question

计算二重积分∫∫（D）x(x＋y）dxdy，其中D＝｛（x，y）｜x²＋y²≤2，y≥x²｝.

Answer 1

本题区域关于x轴对称，y关于y是一个奇函数，因此积分为0，所以被积函数中的y可去掉。

∫∫（x+y）dxdy

=∫∫xdxdy

用极坐标，x²+y²=2x的极坐标方程为：r=2cosθ

=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr

=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr

=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ

=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ

=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]

=(4/3)(3/2)*(π/2)

=π

二重积分的意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

曲线x^2+y^2=2与y=x^2交于点(土1,1）。
D关于y轴对称，xy是x的奇函数，
所以∫∫<D>xydxdy=0,
所以原式=∫∫<D>x^2dxdy
=2∫<0,1>x^2dx∫<-√(2-x^2),x^2>dy+2∫<1,√2>x^2dx∫<-√(2-x^2),√(2-x^2)>dy
=2∫<0,1>x^2[x^2+√(2-x^2)]dx+4∫<1,√2>x^2√(2-x^2)dx
=2∫<0,1>x^4dx+[2∫<0,1>+4∫<1,√2>]x^2√(2-x^2)dx
设x=√2sinu,则dx=√2cosudu,
第二项=[2∫<0,π/4>+4∫<π/4，π/2>]4(sinucosu)^2du
=[2∫<0,π/4>+4∫<π/4，π/2>](sin2u)^2du
=[∫<0,π/4>+2∫<π/4，π/2>](1-cos4u)du
=3π/4-（1/4）sin4u|<0,π/4>+2<π/4，π/2>
=3π/4.
原式=2/5+3π/4.

Answer 4

如图所示