Question

数列极限的求解

麻烦写一下详细过程 谢谢了

Answer 1

给你说个思路：
用单调有界数列收敛定理。用a_0≥b_0>0的条件证a_n和b_n有界
然后用递推公式去证a_{n+1}-a_n<0和b_{n+1}-b_n小于0或大于0，即可得x_{n+1}<x_n或者x_{n+1}>x_n，然后两个数列都单调有界即可得收敛。
具体步骤：
因为a_0>b_0>0，设a_k，b_k>0，则a_{k+1}和b_{k+1}都大于0，所以根据数学归纳法有对于一切n属于正整数集合有

a_n>0,b_n>0
因此a_n，b_n有下界。
a_{n+1}-a_n=(a_n+b_n)/2-a_n，因为a_n≥b_n>0，所以(a_n+b_n)/2-a_n=(b_n-a_n)/2所以a_{n+1}-a_n≤0.
b_{n+1}-b_n=(2*a_n*b_n)/(a_n+b_n)-a_n，因为a_n≥b_n>0，所以b_{n+1}-b_n≤0.
因此两个数列单调减少有下界，收敛。
证毕

Answer 2

如下