Question

十字相乘法的判定的原理

形如ax²+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。为什么当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘?

谢谢!

Answer 1

这个是利用的一元二次方程的求根公式。一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为
x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b^2-4ac
而ax^2+bx+c=0的解为x1和x2时，ax^2+bx+c可以且仅可以分解为a(x-x1)(x-x2)
所以当Δ是完全平方数的时候，Δ开根号得到的才是有理数，即一元二次方程才有有理数解
而有理数的定义是可以表示为两个整数相除，所以当x1和x2是有理数的时候，可以通过乘以某个整数，将x1和x2转为整数，即ax^2+bx+c可以在整数范围内分解因式
而若Δ不是完全平方数，则ax^2+bx+c=0没有有理数解。既然没有有理数解，自然也无法在整数范围内分解因式了