Question

N阶方阵的特征值

设A为一个N阶方阵
在1. （1,1)处
2. 主对角上标元和下标元处 （即 i, i+1 和 i+1, i 处）
有值1/2, 其他元皆为0
证明此方阵的特征值不为1

Answer 1

有一次，普鲁士腓特烈大王决定举行一次盛大的阅兵典礼，打算从6支部队里面，各选出6名不同军衔（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的军官各一人，合计六六三十六人，排成一个每边正好6人的方阵，要求每行每列都必须有各个部队和各种军衔的代表，既不准重复，也不能遗漏。这件事情看来很好办，不料命令传达下去之后，却根本无法执行。阅兵司令接二连三地吹哨子，喊口令，排来排去，始终不符合国王的要求，他急得像只热锅上的蚂蚁。执事官员和国王的侍从们一见事情不妙，只好临时找个借口，支吾过去。但这已使腓特烈大王在众多外国贵宾面前窘态毕露，出足洋相。
事后，腓特烈大王对这件事情始终耿耿于怀，认为阅兵司令竟连这点小事也办不好，真是个草包。他就自己动手试试，在纸上编排一下，可是试来试去，竟无法成功。于是他去向许多有学问的人请教，可是他们也都束手无策。最后，他不得不去请教当时欧洲第一流的大数学家欧拉，希望能找出一个解决方案。
那时欧拉已经很老了。在此之前，不知有多少个令人望而生畏的数学难题在他手里迎刃而解。但是这样一个小孩子也明白其意义的，看上去非常简单的“36军官问题”，竟然也把他难住了。经过长期苦心研究，他终于认为国王的要求是无法满足的，也就是说，那样的6阶方阵是排不出来的。
这个问题的一般形式是：从不同的n个军团各选n种不同军阶的n名军官共n^2人，排成一个n行n列的方队，使得各行各列的n名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？
欧拉曾经猜想，当n为偶数的时候，这个方队是排不起来的，但没有给予证明，后来，1901年，法国一位数学家泰利证明了，除了四军官和三十六军官以外，其它各数如九军官，十六军官，二十五军官，四十九军官，六十四军官的方队都是排得出来的。只要把国王的愿意略作修改，比如说，如果是从5支部队中，各选出5名不同军衔的军官各一人，共25人排成一个5阶方阵的话，那就很容易了。
类似这样的方阵，在数学上称为正交拉丁方，目前，它在实验设计中非常活跃，在农业、轻工、生物、化工、医药等各方面都有极其广泛的应用。利用它，能够以较少的实验次数获得较好的结果。还能节省原料，改进配方等等，好处多得说不完。
希望我能帮助你解疑释惑。