Question

函数极限与无穷小的关系。

lim f（x）=A,的一个充要条件是：f（x）=A+a（x），a（x）是一个无穷小。我看了很多回答，都没有解决提问者的疑惑。首先说明，我知道a（x）是无穷小。证明我都看得懂。 我的疑惑就是为什么f（x）=A+a（x），如果没有高数基础，就单单看这个式子。又告诉你a（x）趋于0。f（x）等于A？我想这就是大多数人疑惑的地方。一个函数为什么等于一个常数？这里有没有加极限号。
如果说f（x）=A+a(x),这里的f（x）中的x已经确定，不是一个变量，f（x）在这点的值等于它在这里的极限加上一个无穷小，那么可以理解。如果这里的x是一个变量，右边A不变，a（x）又是无穷小，这不会相等啊？
所以这里的f（x）怎么理解？要把它理解成一个函数在某一点的值吗？还是理解成一个关于x
的函数？

Answer 1

无穷小是接近于0，但是不等于0，
如果limf(x)=A，那么f(x)=A+a，其中lima=0
只有lima=0时，f(x)=A+a 才成立
反之如果f(x)=A+a,且lima=0，那么limf(x)=A
既然lima=0了，所以limf(x)=A

不是等于常数A+a，是无限趋近，就像。当N趋于无穷大的时候1/N就趋近于0，也就说无限接近，这个就是函数的极限问题！

Answer 2

你是想问什么呢？这个命题明显是正确的，虽然这个命题对我们计算极限值的时候，似乎用处不大，不过在理论推导中应该有用处的。
这里是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一：和差的极限等于极限的和差来做。
根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）
lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题了。

必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）

充分性也是一样证明。如果f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0
所以lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A

所以证明完毕。

Answer 3

无穷小是接近于0，但是不等于0，
如果limf(x)=A，那么f(x)=A+a，其中lima=0
只有lima=0时，f(x)=A+a才成立
反之如果f(x)=A+a,且lima=0，那么limf(x)=A
既然lima=0了，所以limf(x)=A

不是等于常数A+a，是无限趋近，就像。当N趋于无穷大的时候1/N就趋近于0，也就说无限接近，这个就是函数的极限问题。

Answer 4

首先你这样认知绝对是错误的，它描述的主体是F(x), 你能说当F(x)趋近与A时，却不能说A趋近于F(x)。
然后根据你的意思是F(x)趋近于A的时候，它比A小 还要再加上一个无穷小量，这样肯定是错误的，首先你错解了无穷小量的意思，无穷小量是一个极限为0的函数，它是不固定的，可以为正，也可以为负。栗子就不给你举了。。

Answer 5

极限值不一定是最大的。F(x)趋向于A可能是完全没有任何单调性的。
在保证a(x)是无穷小量的前提下，lim x-∞ F(x)=A的充分必要条件是 A=F(x)+a(x)也没问题。然而这个结论是不如lim x-∞ F(x)=A的充分必要条件是 F(X)=A+a(x) 这么清晰易理解的。因为两个函数相加极限存在未必这两个函数各自的极限就存在。但是好在你有a(x)是无穷小量的前提。
而且你提的这个命题，目的不是为了告诉你F(x)加上一个无穷小量是常数，而是告诉你F(x)减去一个固定的数（极限值A）后就是一个无穷小量。