高数。微分方程的解!求详细过程

例20.4... 例20.4 展开
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wjl371116
2019-08-31 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
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求微分方程 2y''+(y')²=y满足初始条件y(0)=2,y'(0)=1的特解

解:2y''+(y')²-y=0;即y''+(1/2)(y')²-(1/2)y=0............①

方程①属于 y''+p(y)(y')²+Q(y)=0的形式;其通解为:

在本题中,P=1/2;Q=-(1/2)y;故通解:

求出这个积分,再代入初始条件求出两个积分常数,问题就解决了;问题是,如何求出这个

积分,好像没有头绪。

系科仪器
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十全进士
2023-10-18 · 超过277用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
回答量:1717
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解:微分方程为2yy"=y'²+y²,化为2yy"-2y'²=-y'²+y²,2(yy"-y'²)/y²=-(y'/y)²+1,2(y'/ y)'=-(y'/y)²+1,设y'/y=u,微分方程化为2u'=1-u²,du/(1+u)+du/(1-u)=dx,ln|(1+u)/(u-1)|=x+ln|c|(c为任意非零常数),u+1=ceˣ(u-1),u=(1+ceˣ)/(ceˣ-1),y'/y=-1+2ceˣ/(ceˣ-1),ln|y|=-x+2ln|ceˣ-1|+ln|a|(a为任意非零常数),微分方程的通解为y=ae⁻ˣ(ceˣ-1)²
∵y(0)=1,y'(0)=-1 ∴有1=a(c-1)²,-1=-1+2c/(c-1),得:a=1,c=0;微分方程的特解为y=e⁻ˣ
解:微分方程为2y"+y'²=y,设y'=p,微分方程化为2pdp/dy+p²=y,dp²/dy+p²=y,p²=ce⁻ʸ+y-1(c为任意常数),y'²=ce⁻ʸ+y-1 ∵y(0)=2,y'(0)=1 ∴有1=ce⁻²+2-1,得:c=0 ∴微分方程为y'²=y-1,dy/dx=√(y-1),dy/√(y-1)=dx,2√(y-1)=x+a(a为任意常数),微分方程的特解为4(y-1)=(x+1)²
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crs0723
2019-08-31 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
回答量:1.6万
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令y'=p,则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p
2y''+(y')^2=y

2p*dp/dy+p^2=y
再令q=p^2,则dq/dy=2p*dp/dy

dq/dy+q=y
q=A*e^(-y)+y-1,其中A是任意常数
因为q(0)=p(0)^2=y'(0)^2=1,且y(0)=2
所以A*e^(-2)+2-1=1,A=0
q=y-1
p=±√(y-1)
y'=±√(y-1)
因为y'(0)=1,y(0)=2,所以1=±√(2-1),所以y'=√(y-1)
dy/√(y-1)=dx
2√(y-1)=x+B,其中B是任意常数

因为y(0)=2,所以2√(2-1)=B,B=2
2√(y-1)=x+2
√(y-1)=x/2+1
y-1=(1/4)*x^2+x+1

y=(1/4)*x^2+x+2
追问
感谢!
追答
不客气
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百度网友92554bf
2019-08-31 · 超过50用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
回答量:93
采纳率:66%
帮助的人:41.1万
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首先,说实话,你这道题的计算量真的大,答案应该是y=(1/4)x^2+x+2,我再整理一下发步骤
追问
感谢感谢!
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