Question

高数。微分方程的解！求详细过程

例20.4

Answer 1

求微分方程 2y''+(y')²=y满足初始条件y(0)=2，y'(0)=1的特解

解：2y''+(y')²-y=0；即y''+(1/2)(y')²-(1/2)y=0............①

方程①属于 y''+p(y)(y')²+Q(y)=0的形式；其通解为：

在本题中，P=1/2；Q=-(1/2)y；故通解：

求出这个积分，再代入初始条件求出两个积分常数，问题就解决了；问题是，如何求出这个

积分，好像没有头绪。

Answer 2

解:微分方程为2yy"=y'²+y²，化为2yy"-2y'²=-y'²+y²，2(yy"-y'²)/y²=-(y'/y)²+1，2(y'/ y)'=-(y'/y)²+1，设y'/y=u，微分方程化为2u'=1-u²，du/(1+u)+du/(1-u)=dx，ln|(1+u)/(u-1)|=x+ln|c|(c为任意非零常数)，u+1=ceˣ(u-1)，u=(1+ceˣ)/(ceˣ-1)，y'/y=-1+2ceˣ/(ceˣ-1)，ln|y|=-x+2ln|ceˣ-1|+ln|a|(a为任意非零常数)，微分方程的通解为y=ae⁻ˣ(ceˣ-1)²
∵y(0)=1，y'(0)=-1 ∴有1=a(c-1)²，-1=-1+2c/(c-1)，得:a=1，c=0；微分方程的特解为y=e⁻ˣ
解:微分方程为2y"+y'²=y，设y'=p，微分方程化为2pdp/dy+p²=y，dp²/dy+p²=y，p²=ce⁻ʸ+y-1(c为任意常数)，y'²=ce⁻ʸ+y-1 ∵y(0)=2，y'(0)=1 ∴有1=ce⁻²+2-1，得:c=0 ∴微分方程为y'²=y-1，dy/dx=√(y-1)，dy/√(y-1)=dx，2√(y-1)=x+a(a为任意常数)，微分方程的特解为4(y-1)=(x+1)²

Answer 3

令y'=p，则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p
2y''+(y')^2=y

2p*dp/dy+p^2=y
再令q=p^2，则dq/dy=2p*dp/dy

dq/dy+q=y
q=A*e^(-y)+y-1，其中A是任意常数
因为q(0)=p(0)^2=y'(0)^2=1，且y(0)=2
所以A*e^(-2)+2-1=1，A=0
q=y-1
p=±√(y-1)
y'=±√(y-1)
因为y'(0)=1，y(0)=2，所以1=±√(2-1)，所以y'=√(y-1)
dy/√(y-1)=dx
2√(y-1)=x+B，其中B是任意常数

因为y(0)=2，所以2√(2-1)=B，B=2
2√(y-1)=x+2
√(y-1)=x/2+1
y-1=(1/4)*x^2+x+1

y=(1/4)*x^2+x+2

追问

感谢！

追答

不客气

Answer 4

首先，说实话，你这道题的计算量真的大，答案应该是y=(1/4)x^2+x+2，我再整理一下发步骤

追问

感谢感谢！