Question

地磁场的偶极子模式

Answer 1

地磁场的偶极子模式分为径向偶极子模式和非径向偶极子模式。

1.径向偶极子模式

所谓地磁场径向偶极子模式是一个放在地球中心，且与地理轴斜交的中心偶极子和若干个处于地球不同位置且离开地心相同距离的径向偶极子联合所产生的磁场来表示的地磁场的分布模式。

所谓径向是指地球向径方向（即半径方向）。放在中心的称中心偶极子，与球谐系数n＝1的中心偶极子不同，球谐系数中心偶极子的大小、位置是不动的，而径向中心偶极子的位置是变动的，比球谐系数中心偶极子的磁矩大一倍。

图6-19中所示是若干个径向偶极子中的一个，m_p表示它的磁矩，方向指向地面；λ_p和θ_p是这个偶极子所处位置的经度和余纬度值；r_p表示偶极子离开地心的距离；d是偶极子中心到地球表面上某一点（λ，θ）的距离；η表示d所对应的中心角。若用a表示地球半径（径向偶极子一般放在地球半径0.2222a的位置上，即1400km左右)，则一个径向偶极子在地面观测点（λ，θ）上的磁位U_P可表示为

图6-19 径向偶极子的参数

勘探重力学与地磁学

cosη＝cosθ_pcosθ＋sinθ_psinθcos（λ-λ_p)

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其中：

；

；

。

根据上式可以导出此偶极子在地面上产生的磁场分量：

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以上是一个偶极子情况，对于多个偶极子时的磁场值等于所有径向偶极子的代数和。现设某观测点（λ，θ）上的地磁要素分别为X_i，Y_i，Z_i，则K个偶极子在该点产生的磁场可表示为

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式中：X_i，Y_i，Z_i表示实测值；δX_i，δY_i，δZ_i表示各个分量的剩余值（即理论值与实测值之差）。上式中，左边的累积和项又可写成函数形式，即

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并把它们的右边项用多元台劳级数展开，忽略其高阶导数项而只保留它的一阶导数项，则有下式

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整理后得

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同理可得

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根据选定的各个偶极子初始参数K_p，θ_p，λ_p和R_p，计算出X_p，Y_p，Z_p以及它们的一阶导数，然后与实测值X_i，Y_i，Z_i相比较，用最小二乘法确定出各个偶极子参数的修正量ΔK_p，Δθ_p，Δλ_p和ΔR_p，然后再计算出X_p，Y_p和Z_p的修正量ΔX_p，ΔY_p和ΔZ_p，经过多次迭代，则可求得比较满意的参数，从而确定出每个偶极子的参数。

在求解过程中，对偶极子有两个限制，一是中心偶极子要放在地心，即r_p＝0；二是其余的偶极子离开地心的距离都相同。偶极子模式表示地磁场的分布，其效果与球谐分析模式相当，而且偶极子模式也可以通过参数的变化来表示地磁场的长期变化。根据美国出版的1945～1955年世界地磁图推导出的偶极子模式，由表6-3和表6-4给出。

表6-3 根据1945年世界地磁图计算出的偶极子模式

注：均方根偏差＝890（nT）。

应当注意的是，用偶极子模型得到的“中心偶极子”与球谐分析中的“中心偶极子”是不同的。前者的磁矩比后者要大一倍左右，而且前者的变化特征是增大的，并且向西漂移，而后者的磁矩是减小的，并且其磁轴基本上不动。如果把偶极子模式中的全部偶极子求矢量和，则恰好与球谐模式中的中心偶极子一致（包括余纬度、经度和磁矩）。

表6-4 根据1955年世界地磁图计算出的偶极子模式

注：均方根偏差＝1140（nT）。

2.地磁场的非径向偶极子模式

这种模式与球谐模式、径向偶极子模式均有不同，它不包含有放置在地心的中心偶极子，并且每个偶极子的轴不一定是放在径向方向上。这种模式是由Rochev提出的，他用六个非径向偶极子表示1942～1946年的地磁场，这些偶极子的初始位置是：均垂直放置在离开地心0.5a（a为赤道半径）的赤道平面内，彼此的距离是相等的，每个偶极子的磁矩等于整个地球磁矩的1/6，计算结果由表6-5给出。表中的（1）代表初始值，（2）代表中间值（即迭代80次时的值），（3）代表最终的值（迭代120次）。表中的坐标和磁矩分别用1/a和1/a³相乘表示，a为地球半径。用这样的偶极子模式可以表示地磁场的96.7%。

表6-5 地磁场的非径向偶极子模式

注：M_X，M_Y，M_Z的单位均为 nT。

从表6-3，表6-4，表6-5 可以看出，不管是径向偶极子模式还是非径向偶极子模式，它们的偶极子均位于地核界面的里边。这一点与地磁场来源于地核内的说法是一致的，因而偶极子模式有助于阐明地磁场的起源，这也正是偶极子模式比球谐模式优越之所在。