Question

设x,y,z是实数,且满足(x-y)/z=(y-z)/x=(z-x)/y,求证:x=y=z

如题

Answer 1

若x+y+z不等于0，则三式相加有
(x-y+y-z+z+x)/(x+y+z)=0/(x+y+z)=0
因此(x-y)=(y-z)=(z-x)=0
所以x=y=z
若x+y+z等于0，则x=-y-z,y=-x-z,z=-y-x
所以(2y/x)+1=(2z/y)+1=(2x/z)+1
所以y/x=z/y=x/z，所以x=y=z。
综上，只要x,y,z不等于0，原式有意义且x=y=z。
LZ，还记得我吗？这回够及时了吧。

Answer 2

设(x-y)/z=(y-z)/x=(z-x)/y=k
则x-y=zk,y-z=xk,z-x=yk
相加得k(x+y+z)=0
k=0或x+y+z=0
当k=0时,自然x=y=z

当x+y+z=0时
-z=x+y

由于(x-y)/z=(y-z)/x
则(y-x)/(x+y)=(x+2y)/x
x^2+2xy+y^2=0
x=-y,z=0
同理x=0,y=0,
由于x,y,z在分母上,不等于0
所以x+y+z≠0

即当k=0时,x=y=z