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求微分方程 xy'+y=3的通解
解:先求齐次方程 xy'+y=0的通解:分离变量得 dy/y=-dx/x;
积分之得 lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x);
故齐次方程的通解为 y=c₁/x;将c₁换成x的函数u,得 y=u/x...........①
对①取导数得 y'=(xu'-u)/x²..............②
将①和②代入原式得 (xu'-u)/x+(u/x)=3
化简得 u'=3,即du=3dx,∴u=3x+c..........③;
将③代入①式即得原方程的通解为 y=3+(c/x);
解:先求齐次方程 xy'+y=0的通解:分离变量得 dy/y=-dx/x;
积分之得 lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x);
故齐次方程的通解为 y=c₁/x;将c₁换成x的函数u,得 y=u/x...........①
对①取导数得 y'=(xu'-u)/x²..............②
将①和②代入原式得 (xu'-u)/x+(u/x)=3
化简得 u'=3,即du=3dx,∴u=3x+c..........③;
将③代入①式即得原方程的通解为 y=3+(c/x);
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