Question

偏导数的几何意义是什么？

Answer 1

用垂直于y轴的平面y=y0截曲面z=f(x,y)得截线，这截线上任一点f(x0,y0)在平面y=y0内的切线对x轴的斜率就是pz/px|(x0,y0)
凭想象，大概是这个吧。如果错了，到晚再翻书学习。
找到一本教材,二元函数偏导数的几何意义是这样叙述的:
设m(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z=f(x,y)上的一点.过m作平面y=y0与曲面z=f(x,y)相交,其交线为平面y=y0上的曲线z=f(x,y0),则f'<x>(x0,y0)表示上述交线在点m处的切线对x轴的斜率,同样……
与我的想象差不多，虽然表述严密，但对初学者难以理解，我说得比较通俗。
要分清两个概念：
曲面的概念。z=f(x,y)是一个空间曲面，比如半球面。
定义域的概念。曲面z=f(x,y)在平面x0y内的正射影(一般是)平面区域。比如半球面z=√(r^2-x^2-y^2)的定义域就是一个圆面x^2+y^2≤r^2
用垂直于y轴的平面y=y0截曲面z=f(x,y),一般说来是一条平面曲线。
比如平面y=y0(-r<y<r)截半球面z=√(r^2-x^2-y^2)，得曲线是一个半圆周。
过半圆上点，在平面y=y0内与半圆相切的直线斜率与pz/px有关。

Answer 2

和导数的几何意义一样，只不过更有针对性。一元函数的切线都是相对x轴而言的。二元的z对x的偏导数
代表的是曲线z=f(x,yo)在（x0,y0)处偏向x轴的切线的斜率
z对y的偏导同理。

Answer 3

Answer 4

x方向的偏导
把y固定在y0而让x在x0偏导数有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。当△x→0时的极限存在那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.记作f'x(x0,y0)。
同理Y方向