Question

高二 数学 数列 请详细解答,谢谢! (13 11:52:15)

已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若am，a（m+2），a（m+1)(m属于自然数）成等差数列，试判断Sm，S（m+2），S（m+1）是否成等差数列，并证明你的结论
 

Answer 1

am,a(m+2),a(m+1)成等差数列
即
2a(m+2)=am+a(m+1)
两边同除以a1
2q^(m+1) =q^(m-1) +q^m ..............(1)

若Sm,S(m+2),S(m+1)成等差数列
2S(m+2)=Sm+S(m+1)
两边同除以a1/(1-q)
2[1-q^(m+2)] =1-q^m +1-q^(m+1)
2q^(m+2)] =q^m +q^(m+1)
两边同除以q
2q^(m+1) =q^(m-1) +q^m 即(1)

===>Sm,S(m+2),S(m+1)成等差数列

Answer 2

am am*q^2 am*q等差就是说2amq^2=am+amq 2q^2=1+q
q=1或-1/2
第一种情况 {an}是常数列 所以Sm S(m+2) S(m+1)分别是ma1 (m+2)a1 (m+1)a1
除非a1=0 其它情况都不是等差数列
第二种情况Sm=a1(1-(-1/2)^m)/(1-(-1/2))=2a1/3*(1-(-1/2)^m)
若它等差那么2(1-(-1/2)^(m+2))=(1-(-1/2)^m)+(1-(-1/2)^(m+1))
(-1/2)^m+(-1/2)^m-2(-1/2)^(m+2)=0
可以算出 这个式子是恒成立的,所以这种情况是等差

Answer 3

设{an}的首项为a1，公比为q.
由已知得2am+2= am + am+1
∴2a1q^m+1=a1q^m-1 +a1q^m
∵a1≠0 q≠0 ，
∴2q^2－q－1=0 ，
∴q=1或q=-1/2

当q=1时，
∵Sm=ma1，
Sm+2= (m+2)a1，
Sm+1= (m+1)a1，
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2，
∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列

当q=-1/2时，
2Sm+2=2a1[1-(-1/2)^m+2]/[1-(-1/2)]
=4a1/3*[1-(-1/2)^m+2]

Sm+Sm+1=a1[1-(-1/2)^m]/[1-(-1/2)]+a1[1-(-1/2)^m+1]/[1-(-1/2)]
=4a1/3*[1-(-1/2)^m+2]

∴Sm+Sm+1=2Sm+2 ，
∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列
综上得：当公比q=1时，Sm，S（m+2），S（m+1）不成等差数列；
当公比q=-1/2时，Sm，S（m+2），S（m+1）成等差数列

Answer 4

设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列.
由已知得2am+2= am + am+1
∴2a1q^m+1=a1q^m-1 +a1q^m
∵a1≠0 q≠0 ，
∴2q^2－q－1=0 ，
∴q=1或q=-1/2

当q=1时，
∵Sm=ma1，
Sm+2= (m+2)a1，
Sm+1= (m+1)a1，
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2，
∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列（舍去）

当q=-1/2时，
2Sm+2=2a1[1-(-1/2)^m+2]/[1-(-1/2)]
=4a1/3*[1-(-1/2)^m+2]

Sm+Sm+1=a1[1-(-1/2)^m]/[1-(-1/2)]+a1[1-(-1/2)^m+1]/[1-(-1/2)]
=4a1/3*[1-(-1/2)^m+2]

∴Sm+Sm+1=2Sm+2 ，
∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，成立

综上得：当公比q=1时，Sm，S（m+2），S（m+1）不成等差数列；
当公比q=-1/2时，Sm，S（m+2），S（m+1）成等差数列