f（x）为整系数多项式，g（x）=f（x）+1至少有3个互不相等的整数根，试证：f（x）无整数根？
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首先要讲清楚, 这里的三个整数根要在不计重数的意义下考虑(因为通常多项式的根需要计重数), 否则结论不成立. 比如f(x)=3x^4有四个整数根, 且f(1)=3是素数.
若f至少有四个不同的整数根u1,u2,u3,u4, 那么存在整系数多项式g(x)使得f(x)=(x-u1)(x-u2)(x-u3)(x-u4). 取x=a得到p=g(a)(a-u1)(a-u2)(a-u3)(a-u4). 注意p最多可以有四个不同的因子, 1, -1, p, -p, 但p和-p不能同时出现, 而a-u1, ..., a-u4是四个不同的因子, 矛盾.
若f至少有四个不同的整数根u1,u2,u3,u4, 那么存在整系数多项式g(x)使得f(x)=(x-u1)(x-u2)(x-u3)(x-u4). 取x=a得到p=g(a)(a-u1)(a-u2)(a-u3)(a-u4). 注意p最多可以有四个不同的因子, 1, -1, p, -p, 但p和-p不能同时出现, 而a-u1, ..., a-u4是四个不同的因子, 矛盾.
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