Question

极限运算除法法则如何用定义证明，不用无穷小（最好写下来然后拍照）？

Answer 1

若lim(n->∞)xn=A，lim(n->∞)yn=B，其中yn≠0，B≠0，证明lim(n->∞)xn/yn=A/B
证明：因为lim(n->∞)yn=B≠0
所以根据极限的保号性，存在正数d和正整数N1，使对所有n>N1，有|yn|>=d
因为lim(n->∞)xn=A，lim(n->∞)yn=B
所以根据极限的有界性，存在正数M和正数K，使得对所有n，有|xn|<=M，|yn|<=K
对∀ε>0，存在正整数N2，使对所有n>N2，有：
|xn-A|<d*|B|*ε/(M+K+1)，|yn-B|<d*|B|*ε/(M+K+1)
所以存在正整数N=max{N1,N2}，对所有n>N，有：

|xn/yn-A/B|=|xn*B-yn*A|/|B*yn|
=|xn*(B-yn)+yn*(xn-A)|/|B*yn|
<=(|xn|*|B-yn|+|yn|*|xn-A|)/(|B|*d)
<[M*d*|B|*ε/(M+K+1)+K*d*|B|*ε/(M+K+1)]/(|B|*d)
=ε*(M+K)/(M+K+1)
<ε
所以lim(n->∞)xn/yn=A/B