Question

求解两道微分方程题，急

求解前两个微分方程，结果用实数和复数两种形式表示。过程要完整，第三个题是求解第二个题的柯西问题，能解出更好，可以额外加分，谢谢

Answer 1

这都是对时间t求导的，x，y，z看成独立的。
x=x（t），y=y（t），z=z（t）
设运动轨迹方程是F（x，y，z）=0
可以用消去法求解。用D法，标记D=∂/∂t
Dx=y-z
Dy=-2x-3y+z
Dz=-x-3y+z
Dx-y+z=0
2x+（D+3）y-z=0
x+3y+（D-1）z=0
x，y，z有无穷多解，所以下列行列式=0：
D，-1，1
2，D+3，-1
1，3，D-1
=D（D+3）（D-1）+6+1+3D+2（D-1）-（D+3）=0
D（D²+2D-3）+7+3D+2D-2-D-3=0
D³+2D²-3D+2+4D=0
D³+2D²+D+2=0
D²（D+2）+（D+2）=0
（D+2)(D²+1）=0
D=-2，±i
y=Dx+z，代入下面二式：
(D²+3D+2）x+（D+2）z=0
（1+3D）x+（D+2）z=0
（D²+1）x=0
特征根±i，
x=C1cost+C2sint
（D+2）z=-（1+3D）x
=-x-3Dx
=-C1cost-C2sint-3（-C1sint+C2cost）
=（-C1-3C2）cost+（3C1-C2）sint
齐次：
Dz+2z=0
特征方程D+2=0，D=-2，齐次解：
z=C3e↑(-2t)
特解：
z=M1cost+M2sint
Dz=-M1sint+M2cost
代入：
-M1sint+M2cost+2M1cost+2M2sint=（-C1-3C2）cost+（3C1-C2）sint
2M1+M2=-C1-3C2
-M1+2M2=3C1-C2
前+2后：
5M2=5C1-5C2，M2=C1-C2
M1=2M2-（3C1-C2）
=2（C1-C2）-（3C1-C2）
=-C1-C2
z=C3e↑(-2t)-(C1+C2)cost+(C1-C2)sint
y=Dx+z
=-C1sint+C2cost+C3e↑(-2t)-(C1+C2)cost+(C1-C2)sint
=C3e↑(-2t)-C1cost-C2sint

追问

您好，这是我第一题的基础解系，可否看一下是有哪里不对

追答

第一个的指数肯定不对，应该是-2t
（x，y，z）T=
（0，C1，C2）
（C3，-C1，-C2）
（C3，-C1-C2，C1-C2）
------------------------------
×（e↑（-2t），cost，sint）T

追问

非常感谢，还有一个问题，这个解系怎么化为实数形式呢？

Answer 2

以下是maple给出的结果：
(1)通解为
x(t) = _C2*sin(t)+_C3*cos(t), y(t) = -_C2*sin(t)-_C3*cos(t)+exp(-2*t)*_C1, z(t) = -_C2*cos(t)+_C3*sin(t)-_C2*sin(t)-_C3*cos(t)+exp(-2*t)*_C1
代入初始条件（3）得到特解
{x(t) = -sin(t), y(t) = sin(t)-exp(-2*t), z(t) = cos(t)+sin(t)-exp(-2*t)}
（2）通解为
x(t) = _C3*sin(t)+_C2*cos(t)-t, y(t) = -_C3*sin(t)-_C2*cos(t)+t-1+exp(-2*t)*_C1, z(t) = -_C3*cos(t)+_C2*sin(t)-2-_C3*sin(t)-_C2*cos(t)+t+exp(-2*t)*_C1
代入初始条件得到特解：
{x(t) = -2*sin(t)-t, y(t) = 2*sin(t)-1+t, z(t) = 2*cos(t)-2+2*sin(t)+t}

Answer 3

Answer 4

这两题的方法差不多1.设y'=p 则y''=dp/dx 代入原式化简得dp/p=dx/[x(x^2+1)]两边积分 右边的可以查积分表Ln|p|+C1=(1/2)Ln[x^2(x^2+1)]+C2化简得p=C3*x/(根号下x^2+1)即dy=C3*dx*x/(根号下x^2+1)两边积分y=C1*(根号下x^2+1)+C22设y'=p 则y''=dp/dx 代入原式化简得dp/(2p^2+1)=-dx两边积分 不会的还是查积分表[(根号2)/2] *arctan(根号2)p=-x+C化简得 p=[(根号2)/2]tan[(-根号2)x+C]即 dy=dx*[(根号2)/2]tan[(-根号2)x+C] (1)设 t=(-根号2)x+C 则dx=-[(根号2)/2]dt代入(1)dy=-(1/2)(tant)*dt查积分表积分得y=Ln(根号下cost)+C化简得 e^y=C*根号下cost把t=(-根号2)x+C 代入得e^y=C1*根号下cos[(-根号2)x+C2] 完

追问

非常抱歉，可否手写呢，这样确实看不太懂...

Answer 5

根据性质L(f'(x)) = sF(s) - f(0)

推广：L(f''(x)) = sF'(s) - f'(0) = s ( sF(s) - f(0) ) - f'(0) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)

可继续推导出f(x)的n阶导的拉变换

代入初始条件后可得f(x)的拉变换，再进行拉式反变换即可得到原函数f(x)。