Question

速求三角函数所有公式。

Answer 1

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
　　·三角和的三角函数：
　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
　　·辅助角公式：
　　Asinα+Bcosα=√(A2+B2)sin(α+arctan(B/A))，其中
　　sint=B/√(A2+B2)
　　cost=A/√(A2+B2)
　　tant=B/A
　　Asinα-Bcosα=√(A2+B2)cos(α-t)，tant=A/B
　　·倍角公式：
　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
　　cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=)=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
　　tan(2α)=2tanα/(1-tan2α)
　　·三倍角公式：
　　sin(3α)
=
3sinα-4sin³α
=
4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
　　cos(3α)
=
4cos³α-3cosα
=
4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
　　tan(3α)
=
(3tanα-tan³α)/(1-3tan³α)
=
tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
　　·半角公式：
　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
　　·降幂公式
　　sin2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
　　cos2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
　　tan2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
　　·万能公式：
　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
　　cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]
　　·积化和差公式：
　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
　　·和差化积公式：
　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
　　·推导公式
　　tanα+cotα=2/sin2α
　　tanα-cotα=-2cot2α
　　1+cos2α=2cos2α
　　1-cos2α=2sin2α
　　1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]2
　　·其他：
　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及
　　sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2
　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
　　cosx+cos2x+...+cosnx=
[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
　　证明：
　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx
（积化和差）
　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
　　等式得证
　　sinx+sin2x+...+sinnx=
-
[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
　　证明:
　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
　　=-
[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
　　等式得证
　　三倍角公式推导
　　sin3a
　　=sin(2a+a)
　　=sin2acosa+cos2asina
　　=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
　　=3sina-4sin³a
　　cos3a
　　=cos(2a+a)
　　=cos2acosa-sin2asina
　　=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
　　=4cos³a-3cosa
　　sin3a=3sina-4sin³a
　　=4sina(3/4-sin2a)
　　=4sina[(√3/2)2-sin2a]
　　=4sina(sin260°-sin2a)
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
　　cos3a=4cos³a-3cosa
　　=4cosa(cos2a-3/4)
　　=4cosa[cos2a-(√3/2)2]
　　=4cosa(cos2a-cos230°)
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
　　上述两式相比可得
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)