Question

ln(1+x)<x的证明过程

Answer 1

设函数y=（1+x）ln(1+x)-x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时，ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x

Answer 2

假设
y=ln(1+x)-x
(x>-1)
对y求导数得
y'=1/(x+1)-1
令导数等于0
x=0
x<0
y'>0
x=0
y'=0
x>0
y'<0
所以x=0是极大值点，也是最大值点
f(0)=ln1=0
所以对任意的x>-1
y<=0
即ln(1+x)<=x
应该是有等号的，除非x=0不在定义域内

Answer 3

定义域x>0要证明ln(1+x)
0时,f(x)单调增
在x=0处f（x）有最小值
此时f（x）=1-1=0
所以f（x）>0
所以e^x>x+1
所以ln（1+x）

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