Question

如图在平行四边形ABCD中AB=3 BC=4 角B=60度 E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为?

Answer 1

解：过点D作DM⊥AB交BA的延长线于M，DN⊥BC交BC的延长线于N
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC＝4,CD＝AB＝3,
∠DAM＝∠B＝60,
∠DCN＝∠B＝60
∵E是BC的中点
∴BE＝CE＝BC/2＝2
∵EF⊥AB
∴BF＝BE/2＝1,EF＝BE×√3/2＝2×√3/2＝√3
∴S△BEF＝BF×EF/2＝1×√3/2＝√3/2，AF＝AB-BF＝2
∵DM⊥AB，DN⊥BC
∴DM＝AD×√3/2＝4×√3/2＝2√3
DN＝CD×√3/2＝3×√3/2＝3√3/2
∴S△ADF＝AF×DM/2＝2×2√3/2＝2√3
S△CDE＝CE×DN/2＝2×（3√3/2）/2＝3√3/2
SABCD＝AB×DM＝3×2√3＝6√3
∴S阴＝SABCD-S△ADF-S△CDE-S△BEF＝6√3-2√3-3√3/2-√3/2＝2√3
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Answer 2

据条件可知：BE＝2，BF＝1，FE＝根号3
梯形BFDC＝（1+3）*2倍根号3再除以2＝4倍根号3
三角形BEF＝1乘根号3再除以2＝2分之根号3
三角形CDE＝3乘根号3再除以2＝2分之3倍根号3
所以三角形DEF＝4倍根号3-2分之根号3-2分之3倍根号3＝2倍根号3

Answer 3

过点F做GH⊥BC，GH交BC与G，交DA延长线于H
∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠HAB=∠B
∵∠B=60°，∴∠HAB=60°，∵GH⊥BC，∴GH⊥AD
∵E为BC中点，∴BE=EC=1/2BC，∵BC=4，∴BE=EC=2，AD=4
∵EF⊥AB，∴sin∠B=EF/BE=√3/2，cos∠B=BF/BE=1/2，∴EF=√3，BF=1
∵HG⊥BC，∴sin∠B=FG/BF=√3/2，∴FG=√3/2
∵AB=3，AF=AB-BF，∴AF=2
∵GH⊥AD，∴sin∠HAB=FH/AF=√3/2，∴FH=√3
∵GH=FG+FH，∴GH=3√3/2
∵S△BEF=1/2·EF·BF=√3/2
S△AFD=1/2·FH·AD=2√3
S△ECD=1/2·EC·GH=3√3/2
ABCD的面积=BC·GH=6√3
S△DEF=ABCD的面积-S△BEF-S△AFD-S△ECD
∴S△DEF=2√3

Answer 4

平行四边形BC边上的高=AB×sin60°=3×√3/2=3√3/2
∵EF⊥AB，∠B=60°
∴∠BEF=30°,BF=1/2BE=1/4BC=1/4×4=1(E是BC的中点，BE=EC=1/2BC)
延长DF与CB的延长线交于M
∵AD∥BC(CM)
∴△ADF∽△BMF
∴AD/BM=AF/BF
BM=AD×BF/AF=4×1/2=2
∴ME=BM+BE=4
做FN⊥BE于N
∴FN=BF×sin60°=1×√3/2
∴S△DEF
=S△DME-S△EFM
=1/2ME×平行四边形BC边上的高-1/2ME×FN
=1/2×4×3√3/2-1/2×4×√3/2
=2√3

Answer 5

解：过点d作dm⊥ab交ba的延长线于m，dn⊥bc交bc的延长线于n
∵平行四边形abcd
∴ad＝bc＝4,cd＝ab＝3,
∠dam＝∠b＝60,
∠dcn＝∠b＝60
∵e是bc的中点
∴be＝ce＝bc/2＝2
∵ef⊥ab
∴bf＝be/2＝1,ef＝be×√3/2＝2×√3/2＝√3
∴s△bef＝bf×ef/2＝1×√3/2＝√3/2，af＝ab-bf＝2
∵dm⊥ab，dn⊥bc
∴dm＝ad×√3/2＝4×√3/2＝2√3
dn＝cd×√3/2＝3×√3/2＝3√3/2
∴s△adf＝af×dm/2＝2×2√3/2＝2√3
s△cde＝ce×dn/2＝2×（3√3/2）/2＝3√3/2
sabcd＝ab×dm＝3×2√3＝6√3
∴s阴＝sabcd-s△adf-s△cde-s△bef＝6√3-2√3-3√3/2-√3/2＝2√3