Question

两个线性子空间w1和w2，为什么w1+w2是线性子空间

Answer 1

先说一下：这里w1+w2指的是一个新的集合w，,其元素是w1+w2其中w1属于w1，w2属于w2。
以下是证明：（w1、w2是v的线性子空间）（v定义在属于f上）
首先{0}属于w1、w2故{0}也属于w；
任意w3、w4属于w，存在w5、w6属于w1，w7、w8属于w2，使得w5+w7=w3、w6+w8=w4；
因为w1、w2是v的线性子空间，所以w5+w6属于w1、w7+w8属于w2，
而w3+w4=（w5+w6）+（w7+w8）也属于w，所以w关于加法是封闭的。
此外，任意数a属于数域f，a*w5属于w1，a*w7属于w2；
所以a*w3=a*(w5+w7)=a*w5+a*w7也属于w；
说明w对于标量乘法也是封闭的。
综合，{0}属于w、w对于加法封闭、w对于标量乘法封闭，所以w是v的线性子空间。
证毕

Answer 2

先说一下：这里W1+W2指的是一个新的集合W,其元素是w1+w2其中w1属于W1,w2属于W2.
以下是证明：（w1、w2是V的线性子空间）（V定义在属于F上）
首先{0}属于W1、W2故{0}也属于W；
任意w3、w4属于W,存在w5、w6属于W1,w7、w8属于W2,使得w5+w7=w3、w6+w8=w4；
因为W1、W2是V的线性子空间,所以w5+w6属于W1、w7+w8属于W2,
而w3+w4=（w5+w6）+（w7+w8）也属于W,所以W关于加法是封闭的.
此外,任意数a属于数域F,a*w5属于W1,a*w7属于W2；
所以a*w3=a*(w5+w7)=a*w5+a*w7也属于W；
说明W对于标量乘法也是封闭的.
综合,{0}属于W、W对于加法封闭、W对于标量乘法封闭,所以W是V的线性子空间.
证毕