Question

经过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆

Answer 1

解法1，比较容易想到。
x²+y²+6x-4=0
①
x²+y²+6y-28=0
②
①-②，得6x-6y+24=0
=>
x=y-4
代入
①，得
y²-8y+16+y²+6y-24-4=0
即y²-y-6=0
解得y1=-2
y2=3
所以x1=-6
x2=-1
即两圆交点为A(-6，-2)、B(-1，3)
又所求圆的圆心在直线x-y-4=0上，设圆心坐标为0(a，b)
∴所求圆半径r²=(a+6)²+(b+2)²=(a+1)²+(b-3)²
∴a+b+3=0
又∵a-b-4=0
解得a=1/2
b=-7/2
r²=(9/4+169/4)=89/2
∴圆方程为
(x-1/2)²+(y+7/2)²=89/2
化简得x²-x+1/4+y²+7y+49/4=89/2即
x²+y²-x+7y-32=0
解法2，利用圆系方程，比较简单的，不知道您学过没有。
设经过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0交点的圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0
(λ≠-1)
即(1+λ)x²+(1+λ)y²+6x+6λy-4-28λ=0
x²+y²+6x/(1+λ)+6λy/(1+λ)-4(1+7λ)/(1+λ)=0
其圆心的坐标是(-3/(1+λ)，-3λ/(1+λ)
)
又∵圆心在直线x-y-4=0上
∴有3/(1+λ)-3λ/(1+λ)+4=0，解得λ=-7
∴所求的圆的方程为x²+y²+6x-4-7(x²+y²+6y-28)=0
即x²+y²-x+7y-32=0