Question

关于抛物线焦点弦的结论

Answer 1

焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的，焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

1、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点弦中，通径最短。

2、以焦点弦为直径的圆与相应准线的关系：椭圆——相离；双曲线——相交；抛物线——相切。

3、半通径（通径的一半）是焦点弦被焦点分成两条焦半径的调和中项。

4、组成焦点弦的两条焦半径之积与该焦点弦长成比例。

扩展资料：

焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上，并且该交点与焦点的连线垂直于这条焦点弦。反过来，过准线上任意一点作圆锥曲线的两条切线，连接这两个切线的直线将通过焦点。

过焦点弦的一端作准线的垂线，连接垂足和焦点弦的另一端，则连线平分焦点与准线和轴交点之间的线段。

设焦点弦AB（双曲线为同支）不与轴平行，它的垂直平分线与x轴交于G，F是相应的焦点，则AB:FG是定值2/e。

Answer 2

①过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=x1+x2+p.
证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。由于L的方程是x＝-p/2,所以
|AC|=x1+p/2,|BD|=x2+p/2,
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.
类似有：
②过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=y1+y2+p.
③过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=-x1-x2+p.
④过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=-y1-y2+p.
除了以上四点之外,还有:
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）
2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p.
4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2

Answer 3

除了loveisalove说的之外，我再补充几点：
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）
2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p.
4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2
（注意：2、3、4条结论都是计算证得的）

Answer 4

高考抛物线知识