Question

设矩阵A=【2,1,1;1,2,1;1,1,a】,向量a=【1,b,1】是矩阵A*的一个特征向量,求a和b

Answer 1

因为ξ是a的特征向量，则有aξ=λξ
于是得(1/λ)aξ=ξ，由已知条件可得
(1/λ)(2,-1,1;5,a,3;-1,b,-2)(1,1,-1)=(1,1,-1)
则有
8/λ=1......(1)
a-b=2......(2)
6/λ=-1.....(3)
由上可知该矩阵由两个特征值，λ1=8，λ2=-6
又矩阵的各特征值的和等于矩阵的对角元素之和，故有λ1+λ2=2+a-2，则有a=2，b=0
是否相似，根据相似矩阵的定义可求出

Answer 2

解:
由定理,A*的特征向量也是A的特征向量.
所以存在λ使得
Aa=λa
即得
b+3
=
λ
2b+2
=
λb
a+b+1
=
λ
由1,3式解得:
a=2
且
2b+2
=
b(b+3)
即
b^2+b-2
=
0
即
(b-1)(b+2)=0
所以
b=1
或
b=-2.
注:
设α是A*的属于特征值λ的特征向量
则
A*α=λα
所以
AA*α=λAα,
即
|A|α=λAα
所以当A可逆时,
Aα=(|A|/λ)α
所以α也是A的特征向量