Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，且函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2

Answer 1

1、因为函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0，所以c=0，则f（x）=ax³+bx，又因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2，所以函数的切点为（1,5），切线的斜率为3，即函数经过点（1,5）且在该点处的导数为3，又因为函数的导函数为f‘（x）=3ax²+b，即3a+b=3，同时有a+b=5，解得a=-1，b=6，所以函数f（x）=-x³+6x
2、因为|f(x)-mx|=|-x³+6x-mx|=|x||-x²+6-m|≤16，因为x∈（0，3]，所以|-x²+6-m|≤16/x，即-（16/x+x²）+6≤m≤16/x-x²+6，因为-（16/x+x²）+6=-（8/x+8/x+x²)+6≤-3³√[（8/x）²x²]+6=-6，所以m≥-6，又因为16/x-x²+6在x∈（0，3]时，是减函数，所以16/x-x²+6≥7/3，即m≤7/3，所以实数m的取值范围为-6≤m≤7/3

Answer 2

(1)
函数f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数，则f(0)=0，c=0
函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2，切线斜率为3
导数f'=3ax^2+b
x=1时，f'=3a+b，故3a+b=3
--(1)
切点的纵坐标＝3x+2=3*1+2=5
切点坐标满足函数方程，有5=a+b
---(2)
（1）（2）解得：a=-1
b=6