Question

设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),

Answer 1

（1）由题设知，若点M(x,y)是函数图像上的任一点，则点N(2-x,y)也是函数图像上的一点。故有f(x)=f(2-x).又f(x+2)=-f(x).故对f(x)=f(2-x).===>f(-x)=f(2+x)=-f(x).===>f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数。（2）由f(x+2)=-f(x)知，f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).===>f(x+4)=f(x)===>f(x-4)=f(x).当3≤x≤5.===>-1≤x-4≤1.===>f(x-4)=(x-4)^3=f(x),即当3≤x≤5时，f(x)=(x-4)^3.又函数图像关于直线x=1对称，故5≤x≤7,===>-1≤x-6≤1.f(x-6)=(x-6)^3,又f(x-6)=f(8-x)=f(4-x)=-f(x-4)=-f(x).===>f(x)=-f(x-6)=-(x-6)^3.综上知，在[3,5]上，f(x)=(x-4)^3,在[5,7]上，f(x)=-(x-6)^3.