Question

一道几何数学题。

已知角BAO等于ABO等于15°。ABCD是正方形。求三角形CDO是等边三角形
应该没少吧。

Answer 1

特殊的 辅助线(楼主图中的ABCD，C，D换个位置)

证明：在△AOD内做等边△AOE，连接DE
则∠DAE=∠BAO=15°
∵AE=AO，AD=AB
∴△ADE≌△ABO
∴∠AED=∠AOB=150°
∵∠AEO=60°
∴∠DEO=360°-150°-60°=150°=∠AEO
∵EA=EO，DE=DE
∴△AED≌△OED
∴DO=DA
同理OC=BC
∴OD=CD=OC
∴△OCD是等边三角形

Answer 2

分析：（1）将折叠后的图形复原画出原来的平行四边形（如图2），容易发现△BFC≌△BFO，△DEA≌△DEO；因为四边形DEBF为菱形，根据“菱形的对角线互相垂直”所以FO⊥BD，EO⊥BD，再根据条件“沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处”故知FC⊥BC（这是因为折叠时BC与BO重合，FC与FO重合）同理EA⊥DA，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以四边形ABCD是矩形.
（2）由折叠的意义——折叠实际上是一个轴对称变换（折痕两边折叠部分是全等的（对应元素（边、角）是相等的））因而△DEA≌△DEO，所以∠EAD=∠EDO再根据菱形的对角线互相平分，所以∠FDB=∠EDB，所以∠EAD=∠EDO=∠FDB，又∠FDA=90°，所以∠ADE=30°，在RT△DAE中，根据“30°所对的直角边等于斜边的一半”，设DE=2a,则AE=a，由勾股定理DA=√3a
，而AB=AE+BE=AE+DE=3a，所以
AB:CD=AB;AD=3a:
√3a=√3.

Answer 3

将△ABG沿着AB翻折，G点落在点D，将△AGC沿着AC翻折G点落在点E延长DB，EC交于F，易证ADFE为正方形，设高AG为x，则在Rt△BFC中（x-3）^2+(x-2)^2=5^2
解得x=6,（负根已舍）所以S=5*6/2=15

Answer 4

以AB为底边做等边三角形EAB，E在AB的正上方，连接EO，
故∠EAO=∠CAO=75°，而EA=AB=AC，故EAO与CAO全等，故有
EO=CO
明显EO平分∠AOB，即∠AOE=75°
而∠EAO=75°，即EAO为等边三角形，即EA=EO，即CO=EA=AB
同理可得DO=AB，故CDO为等边三角形

Answer 5

∵∠BAO=∠ABO=15°∴AO=BO(等角对等边） ∠OAC=90°-15°=75°
∠OBD=90°-15°=75° 即∠OAC=∠OBD 又∵AO=BO，AC=BD ∴△AOC≌△BOD（SAS) 即OC=OD(对应边相等） ∵ △AOB是等腰三角形，AB平行且垂直与CD，所以AB的中垂线与CD的中垂线重合，所以三角形CDO是等边三角形