Question

如图①、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B 落在边AD（含端点）上，

Answer 1

解：（1）等腰．
（2）如图①，连接be，画be的中垂线交bc与点f，连接ef，
△bef是矩形abcd的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分be，ab=ae=2，
∴点a在be的中垂线上，即折痕经过点a．
∴四边形abfe为正方形．
∴bf=ab=2，
∴f（2，0）．
（3）矩形abcd存在面积最大的折痕三角形bef，其面积为4，
理由如下：①当f在边bc上时，如图②所示．
s
△bef
≤
s
矩形
abcd
，即当f与c重合时，面积最大为
4．
②当f在边
cd上时，如图③所示，
过f作fh∥bc交ab于点h，交be于k．
∵s
△ekf
=
kf?ah≤
hf?ah=
s
矩形
ahfd
，
s
△bkf
=
kf?bh≤
hf?bh=
s
矩形
bcfh
，
∴s
△bef
≤
s
矩形
abcd
=4．
即当f为cd中点时，△bef面积最大为4．
下面求面积最大时，点e的坐标．
①当f与点c重合时，如图④所示．
由折叠可知ce=cb=4，
在rt△cde中，ed=
=
=2
．
∴ae=4﹣2
．
∴e（4﹣2
，2）．
②当f在边dc的中点时，点e与点a重合，如图⑤所示．
此时e（0，2）．
综上所述，折痕△bef的最大面积为4时，点e的坐标为e（0，2）或e（4﹣2
，2）．
略

Answer 2

解：（1）等腰．
（2）如图①，连接be，画be的中垂线交bc与点f，连接ef，
△bef是矩形abcd的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分be，ab=ae=2，
∴点a在be的中垂线上，即折痕经过点a．
∴四边形abfe为正方形．
∴bf=ab=2，
∴f（2，0）．
（3）矩形abcd存在面积最大的折痕三角形bef，其面积为4，
理由如下：①当f在边bc上时，如图②所示．
s
△bef
≤
s
矩形
abcd
，即当f与c重合时，面积最大为
4．
②当f在边
cd上时，如图③所示，
过f作fh∥bc交ab于点h，交be于k．
∵s
△ekf
=
kf?ah≤
hf?ah=
s
矩形
ahfd
，
s
△bkf
=
kf?bh≤
hf?bh=
s
矩形
bcfh
，
∴s
△bef
≤
s
矩形
abcd
=4．
即当f为cd中点时，△bef面积最大为4．
下面求面积最大时，点e的坐标．
①当f与点c重合时，如图④所示．
由折叠可知ce=cb=4，
在rt△cde中，ed=
=
=2
．
∴ae=4﹣2
．
∴e（4﹣2
，2）．
②当f在边dc的中点时，点e与点a重合，如图⑤所示．
此时e（0，2）．
综上所述，折痕△bef的最大面积为4时，点e的坐标为e（0，2）或e（4﹣2
，2）．
略

Answer 3

⑴
等腰三角形
(BF=EF)，
⑵作法：①作AD
垂直平分线
交AD于E，连接BE，
②作BE垂直平分线，交BC于F，连接EF，
的ΔBEF为所求。
⑶在RTΔDEF中，EF=BF=4，DC=2，
∴DE=√(EF^2-CD^2)=2√3，∴AE=4-2√3，
在RTΔAEN中，设AN=X，则BN=EN=2-X，
根据
勾股定理
得：(2-X)^2=X^2+(4-2√3)^2，
4-4X+X^2=X^2+28-16√3，
X=4√3-6，
即AN=4√3-6。