Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1

Answer 1

设二次函数解析式为y=ax^2+bx+c，因为f（0）=1，所以代入c=1，f（x+1）=a（x+1）^2+b（x+1）+c，f（x)=ax^2+bx+c,又因为f(x+1)-f(x）=2x，把式子代入，求的2ax+a+b=2x，所以，2a=1，a+b=0，才能使两式子相等，a=1/2,b=-1/2,所以f(X)=1/2X^2+1/2X+1,
(2)因为函数y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方，所以在区间【-1，+1】上，1/2X^2+1/2X+1—2x-m>0，令1/2X^2+1/2X+1—2x-m=y，可知对称轴为x=-b/2a=3/2，因为3/2>1,在这区间3/2离1最近，得最小值带1入，化简得m<1/2

Answer 2

第一题，方法如下，令X等于0，则f1等于f0等于1，在一次写出f2-f1=2
f3-f2=4
…
f（n）-f（n-1）=2（n-1）；这些式子左边相加等于f（n）-f1右边相加等于【2+2*（n-1）】*（n-1）/2，也就是等差数列的求和公式，最后得到fn=n*（n-1）+1，把n换成X就是答案！第二题用第一题的答案和给别的直线联立，你可以画图，让那根线和抛物线相切，一个交点，也就是“得它”等于0，解得m
小于负的4分之5

Answer 3

1.由题意可设f(x)=ax^2+bx+c，则c=1
a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=2x
即
2ax+a+b=2x
两个表达式相等，对应系数应相同，故有
2a=2,
a+b=0
解得
a=1,
b=-1
即
f(x)=x^2-x+1.
2.因为函数y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方
所以有
x^2-x+1>2x+m在-1<=x<=1上恒成立
即
m<x^2-3x+1=(x-3/2)^2-5/4在-1<=x<=1上恒成立
故m应小于x^2-3x+1,-1<=x<=1的最小值-1(当x=1时，x^2-3x+1有最小值-1)
即
m<-1

Answer 4

可知直线为
二次函数
。
则f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)=a(x+1)^2+b（x+1）+c
f(x+1)-f(x)=ax^2+2ax+a+bx+b+c-ax^2-bx-c=2ax+b
根据对应原则，b=0
2a=2
a=1
f(0)=c=1
f(x)=x^2+1