Question

设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(13A2)?1的一个特征值为______

Answer 1

设λ是A的一个特征值，α是其对应的特征向量，则
Aα=λα
因此A2α=AAα=λ（Aα）=λ2α
从而
1
3
A2α＝
1
3
λ2α
即
1
3
λ2是
1
3
A2的特征值
又矩阵与其逆矩阵的特征值是互为倒数的
故
1
1
3
λ2
是矩阵(
1
3
A2)?1的特征值
∴矩阵(
1
3
A2)?1的一个特征值为
1
1
3
?22
＝
3
4

Answer 2

如果(a2)-1意思是（a^2）^-1，则矩阵(a2)-1必有一个特征值等于1/4.
设x是λ=2对应的特征向量，则ax=2x，a^2x=aax=2ax=4x，即a^2x=4x，故得
（1/4）x=（a^2）^-1x，即（a^2）^-1x=（1/4）x，于是1/4是（a^2）^-1的一个特征值.
如果(a2)-1意思是（a^2）-i（i是单位阵），则矩阵(a2)-i必有一个特征值等于3.
设x是λ=2对应的特征向量，则ax=2x，a^2x=aax=2ax=4x，即a^2x=4x，故得
a^2x-x=3x，（（a^2）-i）x=3x，故3是（a^2）^-i的一个特征值.