Question

平行六面体 用向量求体积 公式是什么 ？怎么推导的

Answer 1

平行6面体的体积等于三边向量的混合积的绝对值。

首先底边两个向量的 外积模的大小是底面积，那么体积就等于底面积乘以高，也就是乘以侧楞在底面法向上的投影，而外积本身的方向就是底面的法向，从而只 最终结果就为 三个边向量的混合积

这个问题可以用空间向量的混合积来计算,

首先,可以把三条边作为三个基底向量,计算它们两两之间的叉积。这是这个问题中最难的一步，较为简便的方法是待定系数法，即用三个基底表示三个积。

然后，可以用向量叉积的行列式定义，计算两边所在的向量的叉积，再与另一个边求数量积，所得结果的绝对值就是体积。

整个过程较为冗长、烦琐，难以总结出一个公式。

公式：土方量V=1/3h(S上+√(S下*S上)+S下)

比如S上=140cm S下=60cm

V=1/3*3*（140+60+√140*60）=291.65m2

基坑下底长10m，下底宽6m 基坑上底长14m ，上底宽10m 开挖深度3m ，开挖坡率1：0.5 求基坑开挖土方量 、

圆柱体：体积=底面积×高

长方体：体积=长×宽×高

正方体：体积＝棱长×棱长×棱长．

锥 体: 底面面积×高÷3

台 体: V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3

球缺体积公式＝πh2(3R-h)÷3

球体积公式：V＝4πR3/3

棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高)

棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h

注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。

面积:长方形=长乘宽,正方形=边长的平方,三角形=底边乘高除以2,梯形=(上底+下底)乘高除以2,平行四边形=底边乘高,圆=圆周率PI乘半径的平方

体积:长方体=长乘宽乘高, 正方体=边长的立方,圆柱体等=底面圆的面积乘高

一 周长计算公式：⒈ 长方形的周长＝（长＋宽）×2⒉ 正方形的周长＝边长×4 ⒊ 圆的周长： C = 2πr⒋ 正方体的棱长总和＝棱长×12　 5.长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 二 面积计算公式：⒈ 长方形的面积＝长×宽 ⒉ 正方形的面积＝边长×边长　　⒊ 平行四边形的面积＝底×高　　⒋ 三角形的面积＝底×高÷2 ⒌ 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 ⒍ 圆的面积：S＝πr²⒎ 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 ⒏ 正方体的表面积＝（棱长×棱长）×6⒐ 圆柱体的侧面积＝底面周长×高 ⒑ 圆柱体的表面积＝侧面积＋底面积×2 （三）体积计算公式：⒈长方体的体积＝长×宽×高⒉ 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 ⒊ 圆柱体的体积＝底面积×高⒋ 圆锥体的体积＝底面积×高×1/3

Answer 2

v=|(a1×a2).a3|
证明：
由内积公式，
(a1×a2).a3=
|a1×a2||a3|cosa
(a为向量a1×a2与a3夹角）
|a1×a2|=|a1||a2|
sinb
(b为向量a1与a2夹角）
于是，显然，|a1×a2|为以|a1|和|a2|为边构成的平行四边形的面积s，
而|a3|cosa
，则是以|a1|和|a2|为边构成的平行四边形为底面的平行六面体的高，
故v=|(a1×a2).a3|