Question

因式分解法体现了怎样的数学思想

Answer 1

因式分解的方法　　
因式分解没有普遍的方法
，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复杂化）
　　
注意三原则
　　1
分解要彻底
　　2
最后结果只有小括号
　　3
最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(-3x+1)）
[编辑本段]基本方法　　
⑴提公因式法　　
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的
公因式
。
　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
提公因式法
。
　　
具体方法：
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
　　
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式
　　
⑵公式法　　
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫
公式法
。
　　
平方差公式
：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
　　
完全平方公式
：a±2ab＋b＝(a±b）^2；
　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
　　
立方和公式
：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
　　
立方差公式
：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
　　
完全立方公式
：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
　　公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)
　　例如：a
^2+4ab+4b^2
=(a+2b)^2。
　　（3）分解因式技巧
　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
　　2.分解因式技巧掌握：
　　①等式左边必须是多项式；
　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
　　3.提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。